希臘的「閏餘/歲首月齡 Epact」

（拿起了你的計數機沒有？）
古代的人已觀察到，由春分到下一個春分，過了365¼日。姑且分12個月，31日與30日相間，是366（(31 + 30) * 6 = 366）日，多了一天。於是年尾的月份（February），祇有29日。
（大家有沒有奇怪，Septa明明是七，Octa是八，Nova是九，Deca是十。為甚麼September是九月, October是十月, November十一月, December十二月呢？如果February 是一年的最後一個月，March是一年的第一個月，謎團便解開了！）
後來有個凱撒，不滿自己出生的月份祇有30日，便從年尾的 February 移了一天到自己出生的月份……這是「陽曆」的故事。

古代有些民族按月亮的盈虧計算日子，他們發現兩個朔望月共有59日，於是陰曆的月份30與29相間。
假設某閏年的一月一日，剛好同時是陰曆第一個月的第一天，即新月，設 E = 0 代表新月，讓我們看看月亮在往後的每一天有多「老」！注意雙數朔望月的排列。

一月12345678910111213141516
E0123456789101112131415
一月171819202122232425262728293031
E16171819202122232425262728290
二月12345678910111213141516
E12345678910111213141516
二月17181920212223242526272829
E1718192021222324/25262728290
三月12345678910111213141516
E12345678910111213141516
三月171819202122232425262728293031
E1718192021222324252627282901
四月12345678910111213141516
E234567891011121314151617
四月1718192021222324252627282930
E18192021222324/2526272829012

隨著月份的推移，新月（E = 0）漸漸從月尾向月頭飄移！
12個陰曆月份一共有354(6 * 59 = 354)日，比陽曆一年的12個月，小了11¼日。
試想像某年的一月一日是新月New Moon，（這一年剛好是公元前一年）下一年的一月一日，就是第十一日的月亮了。這就是雅典人「閏餘/歲首月齡 Epact」的觀念。
第三年的一月一日的月亮，是第廿二日的月亮。第四年的一月一日，是第三十三日的月亮。即是說，第三年的年尾，多了一個三十日的閏月。所以第四年的一月一日，是第三日的月亮…
古代的雅典人推算到，19年是最理想的同步點。
365¼日乘19（年）= 6939¾日；6939¾日除29½日，結果比 235 多約¼。即是說，每19年祇要閏7（235 - (19 * 12) = 7）個月，就可以同步了。而第七次，即第19年的年尾，閏29日已足夠了。第20年又開始下一輪的19年循環（自己驗算吧）！

茲表列19年的 Metonic Cycle 的「歲首月齡」如下（0 代表新月，灰色格表示前一年是閏年，有13個朔望月，共有7格。）：

G12345678910111213141516171819
E0112231425617289201122341526718

G 代表19年的 Metonic Cycle 的第幾年，G 是 Golden Number的簡寫。由公元前1年開始計算。1 A.D.的 Golden Number 是 2，如此類推。
E 列的數字並不複雜，每格的數字是左格加11，超過30就減去30（閏月）的餘數，第19年的年尾則減去29，讓第20年日和月再同步開始。

Metonic Cycle 的同步，僅是一個約數。19年是6939¾ （365¼ * 19 = 6939¾）日，而235個朔望月（注意：期中的7個閏月，6個是30日，1個是29日！(19*12*29½)+(6*30+29) = 6935）比19年少了4¼日！但現實為甚麼沒有這樣大的誤差呢？

因為「魔鬼在細節…」

在陽曆方面，一年實際是365.2422日，短於365¼日。四年一閏，400年閏了100日，比實際閏多了3日（365.25-365.2422）*400！1200年便閏多了10日（365.25-365.2422）*1200！這就是「Solar Equation」。

在陰曆方面，一個月實際是29.53059日，比29½日長！結果每19年短了大約0.003日，而不是短了4¼日。

隨著天文觀察的技術不斷進步，16世紀的人發現，上述的 Epact 表祇有效約300至400年。每2500年，需要補加8日，這就是「Lunar Equation」。
實際運作上，大約一至三個世紀，換一個更新了的 Epact表，便足以應付到公元5200年！這個改良了的 Epact 表，就是 Lilian Epact。（愛接受挑戰的讀者，Click入去接受挑戰啦，不用拿著計數機！）

綜合陰曆與陽曆的不準確，便促成公元1582年，教宗額我額十三世大刀闊斧地改革曆法，1582年的十月四日之後是十月十五日（星期五）的原因！

圖片鳴謝：seekerproject4se.org